Задача про остров хамелеонов: проверьте себя

Иногда мы публикуем задачи: некоторые — на знание геометрии, некоторые — на умение решать уравнения, некоторые — на смекалку. В этот раз мы предлагаем пожонглировать переменными. Ответ после условия задачи.

Дано:

На острове живут хамелеоны. На данный момент 13 из них зеленые, 15 — синие и 17 — красного цвета. Когда два хамелеона разного цвета встречаются, оба меняют цвет на третий: например, если столкнулись зеленая и синяя ящерка, обе станут красными.

Возможно ли, что в один прекрасный момент все хамелеоны на острове станут одного цвета? В других обстоятельствах цвета не меняются.

Ответ:

Ответ — нет, все хамелеоны никогда не станут одного цвета, и вот как мы это находим.

Обозначим количество зеленых, синих и красных хамелеонов латинскими буквами G, B и R. Опишем то, что происходит при встрече хамелеонов:

если встречаются зеленый и синий, количество зеленых становится равно G –1, и количество синих становится равно B — 1, а количество красных становится равно R + 2. Поиграем с этими выражениями: запишем, что происходит при встрече двух ящериц с разницей между числом хамелеонов разных цветов:

G – B меняется на G — 1 — (B -1) = G – B

B – R меняется на B — 1 — (R + 2) = B – R – 3

R – G меняется на R + 2 — (G — 1) = R –G + 3

Таким образом каждый раз после встречи хамелеонов разница между количеством ящериц разных цветов либо остается прежней, либо меняется на 3.

Чтобы все хамелеоны на острове стали одного цвета, нужно, чтобы не осталось двух других цветов, то есть чтобы выражение G –B, B–R или R–G равнялось нолю (потому что обе переменные равны нолю).

В нашем случае G –B=-2, B–R=-2 и R–G =4. Как мы помним, каждая встреча хамелеонов либо оставляет разницу наизменной, либо меняет на 3. Как получить 0, прибавляя или отнимая 3 к (или от) -2 или 4? Никак.